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通解分解, 由于臂架頂端的動力學邊界條件，使得系統的動力學方程不是齊次方程組。而針對該偏微分方程的解，可以假設包括一個齊次部分(ＲH)和一個非齊次部分(ＲⅠ)，Ｒ(z，t)=ＲⅠ(z，t)+ＲH(z，t) 針對變截面梁模型，可以進一步得到，Ｒi(z，t)=Ｒi，Ⅰ(z，t)+Ｒi，H(z，t)，齊次部分必須既滿足偏微分方程和齊次邊界條件，非齊次部分只滿足非齊次邊界條件。分離變量根據系統具有與時間無關的確定振型的特性，故仍可采用分離變量法解梁的橫向彎曲振動問題。針對齊次微分方程的解，采用分離變量表示為Ｒi，H=T(t)Zi(z)(26)式中，T(t)為只與時間相關的函數，Zi(z)為只與空間相關的函數。其中ωn為常數時，方可使式(28)成立，且ωn與不同頻率下的Tn(t)和Zi，n對應。整理式(28)可得時間相關函數有T··n(t)+ω2nTn(t)=0(29)空間相關函數有ZⅣi，n(z)－λi，nZi，n(z)=0(30)式中特征值λi，n定義為λi，n=ω2nηi，n≥1表示頻譜階數。以上矩陣取決于未知的特征值λi，n，i=1，…，N。對于n段梁的情況，矩陣Mn為4n×4n的方陣，而當段數N=1時，矩陣Mn退化為Mn=B1BN，[]n是4×4方陣，只有邊界條件子矩陣，表示末端具有質量的均質懸臂梁，是分段梁模型的一個特例。當各段梁的屬性EIi和ρAi已知時，可根據特征值與特征角頻率ωn之間的關系，將各段梁的特征值統一由第一段梁的特征值表示λi，n=ηiη1λ1，n=AiA1I1Iiλ1，n(48)式(43)有非零解的條件是detMn=0(49)當梁的分段段數N越大，矩陣Mn的階數越大，由于振型函數包括三角函數與雙曲函數，式(49)可整理為復雜的超越方程，無法得到解析解�？赏ㄟ^Math-ematica中FindＲoot函數在指定區(qū)間求式(49)的數值解，得到對應頻率的特征值λi，n，結合式(48)，可以得到各段λi，n的數值解，從而得到系數向量pn，進而得到各段梁的特征函數即振型函數Zi，n。結合由式(29)得到的時間相關函數Tn(t)，可得到齊次解為Ｒi，H=∑∞n=1Zi，nTn(t)(50)2．3非齊次解偏微分方程式(5)的解假設為齊次解和一個非齊次微分方程解的和。非齊次解只符合連續(xù)條件和非齊次邊界條件，但并非控制微分方程所必須。非齊次解假設為Ｒi，Ⅰ=fi(z)u(t)=fi(z)θ(t)(51)假設由式(17)推導出的非齊次偏微分方程在z=L處成立，得到非齊次邊界條件，非齊次解也必須符合連續(xù)性條件。在此假設下，可以得出fi(z)=z是該問題的特解，其滿足所有邊界條件和連續(xù)性條件。
主坐標下振動方程求解與多自由度系統的振型疊加法類似，對于變截面梁的動位移可以由主坐標平面內的振型函數與權函數表示。首先，定義主坐標下展開形式。令h∈H，則函數h(z)可以展開成廣義傅立葉級數的形式h(z)=∑∞n=1h*nZn(z)(58)其中Zn(z)是歸一化的特征函數由Zn(z)Zn(z)/Zn(z)定義。系數h*n(z)由h*n(z)=〈h(z)，Zn(z)〉定義。對級數展開兩端求內積，并根據特征函數的正交性可，Zk(z)〉=h*k(59)針對運動方程式(17)在主坐標下逐項進行廣義傅里葉級數展開。對于每一段梁有ρA(z)=ρAi，z∈Δi可得Ｒ··H(z，t)+1ηiＲⅣH(z，t)=－Ｒ··I(z，t)－1ηiＲⅣI(z，t)對各項求得展開系數為Ｒ··*H，n(t)、ω2nＲ*H，n(t)令非齊次解ＲI(z，t)為ＲI=f(z)u(t)在主坐標下表示為 對微分項做相同處理可得運動方程式. 由于解Ｒ(z，t)是齊次與非齊次解之和，在主坐標下可以表示為Ｒ*n(t)=Ｒ*H，n(t)+f*nu(t)可得主坐標下各階振動方程. 如果考慮結構自身阻尼，則可進一步得到，Dn為各階的阻尼系數，可由實驗或根據計算得到。
利用求得的各階固有頻率和振型函數，代入式(61)和(62)可得各階振動方程式(64)中的參數f*n和fⅣ*n。由于第三階及更高階振動對整體影響較小，并考慮到液壓系統的控制頻率限制，只考慮前兩階振動對系統的影響。利用狀態(tài)空間表述系統振動特性，針對不同的輸出量y，可通過改變C與D的值獲得。例如，獲得臂頭位置的位移(弧長)變化，則需令0，D=03實際算例根據現有某型號直臂吊車臂架參數，得到三節(jié)伸縮臂在全伸狀態(tài)下的前三階振。利用Simulink中的狀態(tài)空間模塊可快速獲得所需要的輸出量y。仿真時間設定為80s，輸入信號u(t)為臂架仰角θ的變化曲線。圖5所示為給定臂架仰角變化曲線，得到臂頭位置的角位移曲線，偏差是由于忽略了三階及以上的振型所致;圖6所示為臂頭位置的線速度變化曲線;
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